در این مقاله شرایط لازم و کافی برای این‌که یک خودریختی بدون نقطه ثابت(fpf)  از یک گروه، یک خودریختی  جابه‌جاشونده باشد را می‌یابیم. هم‌چنین، برای هر عدد اول داده شده  ، کوچک‌ترین مرتبۀ یک  گروه ناآبلی را که دارای یک خودریختی جابه‌جاشونده بدون نقطۀ ثابت باشد را می‌یابیم. ثابت می‌کنیم که یک گروه از مرتبه که دارای یک خودریختی جابه‌جاشونده بدون نقطه ثابت باشد،  ساختار محدودی دارد.  به‌علاوه ثابت می‌کنیم  که در یک گروه متناهی که دارای خودریختی  f pf  از مرتبه 4 است، عکس نتیجه لافی برقرار است.