فرض کنید G  یک گروه باشد. . نویمن درپاسخ به سوالی که پل اردوش مطرح کرده بود نشان داد که هر زیرمجموعه نامتناهی از G دارای دو عضو متمایز هست که با هم جابجا می‌شوند اگر و فقط اگر گروه G، مرکزی–بواسطه–متناهی باشد. در این مقاله، ما نیز  سوال اردوش  را از جهتی دیگر مورد مطالعه قرار داده و نشان می‌دهیم که  هر زیر‌مجموعه نامتناهی X از گروه G دارای دو عضو  x و y است که x^y=1 اگر ‌و‌ ‌‌فقط‌ اگر شاخص مرکز خارجی در G متناهی باشد.