در سال 2015، حاجیابوالحسن و علیشاهی عددهای تناوبی گرافها را بهعنوان یک کران پایین برای عدد رنگی گرافها معرفی کردند. اثبات ارائه شده بهوسیلۀ آنها مبتنی برلم تاکر (معادل ترکیبیاتی قضیه بورسوک-اولام) است که یک نتیجه در ترکیبیات توپولوژیکی است. در این مقاله یک اثبات کاملاً ترکیبیاتی برای این قضیه از علیشاهی و حاجیابوالحسن ارائه میشود.
