پژوهش‌های ریاضی

---

قیمت‌گذاری اختیارات نقش بسیار مهمی در کنترل و مدیریت ریسک دارد. بحث قیمت‌گذاری نیازمند فرآیند مدل‌سازی، روش‌های حل و اجرای مدل با داده‌های واقعی در یک بازار بررسی شده است. در این مقاله در نظر داریم یک مدل برای دارایی پایه مبتنی بر مدل‌های تصادفی کسری که نوع خاصی از رفتار تغییرات دارایی‌های تصادفی است را بیان کنیم. علاوه بر آن یک روش عددی مبتنی بر توابع پایه‌ شعاعی ارائه می‌دهیم که جواب‌های دقیق‌تری نسبت به‌روش‌های بررسی شده دیگران دارد. پایداری این روش نیز بررسی می‌شود. سرانجام مدل حاصل را بر داده‌های واقعی بازار سکه با استفاده از نرم افزار متلب اجرا می‌کنیم.
امید است با مطالعه این مقاله یک رویکرد جدیدی در قیمت‌گذاری مشتقات در مطالعات بازارهای آن کشور صورت گیرد.

 

---

روش توابع پایه ­ای شعاعی یک روش بدون شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی تصادفی  بوده و به دلیل خاصیت شعاعی، به کارگیری آن در ابعاد بالا با دشواری­های کمتری همراه است و دقت طیفی برای انواع معینی از آن­ها دست یافتنی است. به­علاوه بر روی دامنه­های نامنظم به خوبی قابل استفاده است. اما بسیاری از توابع پایه ای شعاعی پرکاربرد دارای محمل سراسری هستند و لذا ماتریس ضرایب در روش­های بدون شبکه مبتنی بر این دسته از توابع پایه­ای شعاعی چگال خواهد بود، که این امر هزینه محاسباتی و ناپایداری­های عددی را افزایش می­ دهد. این چالش در زمینه حل عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی که با شبیه ­سازی­های متعددی سر و کار خواهیم داشت به صورت جدی­تر مطرح می­ باشد. در این مقاله، روش پارتیشن­ بندی واحد توابع پایه شعاعی مبتنی بر تفاضلات متناهی را برای رفع این چالش ارایه خواهیم کرد و آن را بر روی معادلات دیفراسیل با مشتقات جزیی تصادفی سهموی پیاده­ سازی خواهیم نمود. با به کارگیری چنین طرحی، یک مسئله بزرگ به تعداد زیادی مسئله کوچک تجزیه می­ شود. همچنین، خاصیت همگرایی طیفی توابع پایه شعاعی در تقریب­های موضعی به سرتاسر روش پارتیشن­ بندی واحد مبتنی بر توابع پایه شعاعی منتقل می­ شود. به منظور ارزیابی عملکرد روش با استفاده از 1000 شبیه ­سازی انجام شده، معیارهای آماری نظیر میانگین، انحراف معیار و کران­های بالا و پایین جواب­ها  ارایه شده است. نتایج شبیه ­سازی­های عددی نشان می­دهد، این روش به­ طور قابل ملاحظه ­ای بدوضعی روش سراسری مبتنی بر توابع پایه ای شعاعی را کاهش می ­دهد.  به ­علاوه، این روش با تولید دستگاه معادلات تنک به ­طور قابل توجهی باعث کاهش حجم محاسباتی می­ گردد. همچنین، روش پیشنهادی را بر روی دامنه ­های نامنظم به کار خواهیم برد تا مزیت استفاده آسان از توابع پایه شعاعی برای چنین نواحی را نشان دهیم.

---

در این مقاله وزن فرمول­های تفاضلات متناهی را برای عملگرهای مشتق اول، مشتق دوم و عملگر لاپلاس با استفاده از توابع پایه شعاعی بدست خواهیم آورد. همچنین خطای برشی این فرمول ها را بر حسب فاصله نقاط و پارامتر شکل توابع شعاعی بدست می­آوریم. نشان می­دهیم برای هر فرمول تفاصلات متناهی مقداری از پارامتر شکل در توابع پایه شعاعی وجود دارد که به ازای آن خطا مینیمم خواهد بود. با بکار بردن این روش­ها برای معادلات با هندسه­های نامنظم نشان خواهیم داد بر خلاف روش­های تفاضلات متناهی استاندارد که برای گسسته­سازی معادلات با هندسه منظم بکار می­روند فرمول­های تفاضلات متناهی تولید شده به وسیله توابع پایه شعاعی این امکان را دارند تا به عنوان یک روش بدون شبکه برای حل مسایل با هندسه نامنظم بکار روند.