fa ضرایب لیاپونوف و کاربرد آن‌ها در فیزیک آمار stat مقاله استخراج شده از طرح پژوهشی Research Paper <span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;">نظریۀ صورت بهنجار یکی </span></span><span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;">ازمهم</span></span><span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;">&shy;</span></span><span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;">ترین</span></span><span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;"> ابزارها برای تجزیه وتحلیل موضعی دستگا‌ه‌های دینامیکی در نزدیکی نقاط تعادل و جواب‌های تناوبی است. ایدۀ اصلی در این نظریه استفاده از قسمت خطی دستگاه است که با اعمال تغییر متغیرهای حالت به ساده کردن دستگاه اولیه کمک می‌کند</span></span><span dir="LTR"><span style="font-family:times new roman,serif;"><span style="font-size:10.0pt;">.</span></span></span><span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;"> دستگاه معادلات دیفرانسیل همگن با فضای حالت دوبعدی را در نظر بگیرید که قسمت خطی آن یک جفت مقدار ویژه موهومی دارد</span></span> <span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;">(تکینی هوپف). تا کنون تنها ضرایب لیاپونوف تا مرتبه ۲، برای این‌ دستگاه‌های تکین محاسبه شده است. در این مقاله با به‌کارگیری ابزار جبر لی، ضرایب صورت بهنجا</span></span><span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;">ر</span></span> <span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;">(ضرایب لیاپونوف) را برای این دستگاه، تا مرتبه ۳ بر حسب مشتقات قسمت غیرخطی محاسبه می‌کنیم. هم‌چنین </span></span><span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;">به‌کمک ابزار‌های نظریه انفراد، شکافت سراسری را برای این‌گونه دستگاه‌ها</span></span> <span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;">در حالت کلی محاسبه می‌کنیم.</span></span><span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;"> و</span></span> <span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;">متناظراً ثابت می‌کنیم که بررسی نقاط تعادل و مدارهای تناوبی حدی یک دستگاه تکین هوپف تعمیم یافته&shy;</span></span> <span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;">(کانونی ضعیف از مرتبۀ </span></span><span dir="LTR"><span style="font-family:times new roman,serif;"><span style="font-size:10.0pt;">k</span></span></span><span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;">) با بسط تیلور صورت بهنجار تا درجه </span></span><span style="position:relative;top:4.0pt;"><span style="font-family:calibri,sans-serif;"><span style="font-size:11.0pt;"><img alt="" height="18" src="file:///C:/Users/1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif" width="38" ></span></span></span><span style="font-family:b nazanin;"><span style="font-size:10.0pt;">&nbsp;به‌صورت کامل مشخص می‌شود و انشعابات متناظر برای دستگاه تکین هوپف و هوپف تعمیم یافته با مرتبۀ کانونی 2 را تحلیل می‌کنیم. در پایان معادلات دستگاه لینار و یک مدار الکتریکی غیرخطی را به‌کمک روابط ریاضی، مدل‌سازی و صورت بهنجار را برای آن‌ها محاسبه می‌کنیم.</span></span><br> &nbsp; This paper aims to introduce the original ideas of normal form theory and bifurcation analysis and control of small amplitude limit cycles in a non-technical terms so that it would be comprehensible to wide ranges of Persian speaking engineers and physicists. The history of normal form goes back to more than one hundreds ago, that is to the original ideas coming from Henry Poincare. This tool plays an important role in the bifurcation analysis of dynamical systems. Many phenomena in chemistry, physics, and engineering are modeled by parametric nonlinear differential systems<span dir="RTL"> .</span>These systems demonstrate a complicated dynamics, when the parameters reach singular values<span dir="RTL">.</span> Normal form theory is an efficient tool for the local bifurcation analysis of singular nonlinear<span dir="RTL">‌ </span>systems. The main idea relies in using a nonlinear change of coordinates to convert a given vector field into a simple form, which is named normal form.<br> In most nonlinear systems, behavior and dynamics is involved with local appearance or disappearance of small amplitude limit cycles. These are called bifurcations of limit cycles and they mostly occur through Hopf or degenerate Hopf bifurcations. Center manifolds and normal form theory are considered as among the most powerful tools for the bifurcations and stability analysis of limit cycles. Indeed, the analysis requires the computation of Lyapunov coefficients. Here we present the first (well-known) and the second Lyapunov coefficients for Hopf and degenerate bifurcations.<br> <strong>Lyapunov coefficients</strong><br> In this paper, we discuss normal form of systems whose linear part has a pair of imaginary eigenvalues (usually referred by Hopf singularity) and compute the first and second Lyapunov coefficients.<br> In order to use the bifurcation analysis of a Hopf singularity for bifurcation control purposes, one needs to be able to derive the parametric normal forms of the original system so that the bifurcation analysis for the parametric normal form system would give rise to a bifurcation analysis in terms of the parameters of the original parametric system. We have designed a Maple program for this purpose. Here we merely present the Lyapunov coefficients. The program computes Lyapunov coefficients for systems with parameters and symbolic coefficients.<br> &nbsp;<br> &nbsp;<br> <strong>Application</strong><br> Computation of Lyapunov coefficients is not important only in theatrical aspects but also in real world applications. So in last section of the Persian language paper, we apply the method on a well-known system, called Linard system, and a non-linear electrical system in order to illustrate how these tools can be applied in applications.<br> We detect Hopf singularity for these two application models and then compute their normal form up to degree 3.&nbsp;<br> <a href="./files/site1/files/41/6Extended_Abstract.pdf">./files/site1/files/41/6Extended_Abstract.pdf</a> صورت بهنجار, تکینی هوپف, ضرایب کانونی, دستگاه لینار, مدار الکتریکی غیرخطی Normal Form, Hopf singularity, focus value, Linard system, Non-linear electrical system 75 90 http://mmr.khu.ac.ir/browse.php?a_code=A-10-239-23&slc_lang=fa&sid=1 Majid Gazor مجید گازر 10031947532846002839 10031947532846002839 Yes Faculty of Mathematical Sciences, Isfahan University of Technology دانشگاه صنعتی اصفهان، دانشکدۀ علوم ریاضی Nasrin Sadri نسرین صدری n.sadri@math.iut.ac.ir 10031947532846002840 10031947532846002840 No Faculty of Mathematical Sciences, Isfahan University of Technology دانشگاه صنعتی اصفهان، دانشکدۀ علوم ریاضی