fa عدد رمزی یالی چند رنگی مسیرها جبر alg علمی پژوهشی بنیادی S <div></div> <div>گراف $ F $ که با نماد<br> $ hat{r}(F,r) $&nbsp;</div> <div>نشان داده می‌شود، برابر است با کوچکترین عدد صحیح $ m $ به‌طوری ‌که&nbsp; یک گراف $ G $ با&nbsp; $ m $ یال&nbsp; وجود داشته باشد که در هر رنگ‌آمیزی از یال‌های گراف $ G $ با $ r $ رنگ، یک کپی تک رنگ از گراف $ F $ وجود داشته باشد.&nbsp;</div> <div>کریولویچ و ‌‌‌به‌طور جداگانه دودک و پرالات برای مسیرهای $ P_n $ نشان داده‌اند که برای $ n $&nbsp; به‌ اندازه کافی بزرگ،&nbsp;</div> <div>$ hat{r}(P_n, r) leq 600 r^2(ln r) n$.</div> <div>در این مقاله ما با اثباتی کاملا متفاوت این کران را بهبود داده و ثابت می‌کنیم</div> <div>$ hat{r}(P_n, r) leq 18(1+o_r(1)) r^2(ln r) n$.</div> <div>لازم به تذکر است که کران بالای به‌دست آمده تقریباً بهینه است، زیرا&nbsp;</div> <div>می‌دانیم که&nbsp;</div> <div>$ hat{r}(P_n, r) = Omega(r^2n) $.</div> The size-Ramsey number of a graph <img alt="" height="17" src="file:///C:UsersUser1AppDataLocalTempmsohtmlclip1�1clip_image002.png" width="7" >&nbsp;denoted by &nbsp;is the smallest integer <img alt="" height="17" src="file:///C:UsersUser1AppDataLocalTempmsohtmlclip1�1clip_image006.png" width="11" >&nbsp;such that there is a graph with <img alt="" height="17" src="file:///C:UsersUser1AppDataLocalTempmsohtmlclip1�1clip_image006.png" width="11" >&nbsp;edges with this property that for any coloring of the edges of <img alt="" height="17" src="file:///C:UsersUser1AppDataLocalTempmsohtmlclip1�1clip_image010.png" width="9" >&nbsp;with<img alt="" height="17" src="file:///C:UsersUser1AppDataLocalTempmsohtmlclip1�1clip_image012.png" width="10" >&nbsp;colors, <img alt="" height="17" src="file:///C:UsersUser1AppDataLocalTempmsohtmlclip1�1clip_image010.png" width="9" >&nbsp;contains a monochromatic copy of<img alt="" height="17" src="file:///C:UsersUser1AppDataLocalTempmsohtmlclip1�1clip_image014.png" width="12" >. The investigation of the size-Ramsey numbers of graphs was initiated by Erdős&sbquo; Faudree&sbquo; Rousseau and Schelp in 1978. Since then, Size-Ramsey numbers have been studied with particular focus on the case of trees and bounded degree graphs.<br> Addressing a question posed by Erdős&sbquo; Beck [2] proved that the size-Ramsey number of the path <img alt="" height="17" src="file:///C:UsersUser1AppDataLocalTempmsohtmlclip1�1clip_image016.png" width="12" >&nbsp;is linear in <img alt="" height="17" src="file:///C:UsersUser1AppDataLocalTempmsohtmlclip1�1clip_image018.png" width="8" >&nbsp;by means of a probabilistic construction. In fact, Beck&rsquo;s proof implies that &nbsp;and this upper bound was improved several times. Currently&sbquo; the best known upper bound is due to Dudek and Prałat [4] which proved that . On the other hand&sbquo; the first nontrivial lower bound for &nbsp;was provided by Beck and his result was subsequently improved by Dudek and Prałat [3] who showed that. The strongest known lower bound&nbsp;was proved recently by Bal and DeBiasio [1].<br> <a href="./files/site1/files/%D8%AC%D9%88%D8%A7%D8%AF%DB%8C_%D9%85%DB%8C%D8%B1%D8%B9%D9%84%D8%A7%DB%8C%DB%8C.pdf">./files/site1/files/%D8%AC%D9%88%D8%A7%D8%AF%DB%8C_%D9%85%DB%8C%D8%B1%D8%B9%D9%84%D8%A7%DB%8C%DB%8C.pdf</a> عدد رمزی, عدد رمزی یالی, مسیر Ramsey number, Size Ramsey number, path 485 494 http://mmr.khu.ac.ir/browse.php?a_code=A-10-867-1&slc_lang=fa&sid=1 Ramin Javadi رامین جوادی rjavadi@cc.iut.ac.ir 10031947532846005095 10031947532846005095 Yes Isfahan University of Technology دانشگاه صنعتی اصفهان Meysam Miralaei میثم میرعلایی m.miralaei@math.iut.ac.ir 10031947532846005096 10031947532846005096 No Isfahan University of Technology دانشگاه صنعتی اصفهان