Mathematical Researches
پژوهش های ریاضی
mmr
Basic Sciences
http://mmr.khu.ac.ir
1
admin
2588-2546
2588-2554
10.61186/mmr
fa
jalali
1399
9
1
gregorian
2020
12
1
6
4
online
1
fulltext
fa
بررسی زیرجمعی بودن توابع روی عملگرهای مثبت بدون فرض یکنوایی و تحدب عملگری
On Subadditivity of Functions on Positive Operators Without Operator Monotonicity and Convexity
جبر
alg
علمی پژوهشی بنیادی
S
<p dir="rtl" style="margin: 0px;">در این مقاله‏، زیرجمعی بودن توابع روی عملگرها‏ی مثبت را بدون فرض یکنوایی عملگری و تحدب عملگری بررسی میکنیم. گیریم ‎‎$‎A‎$‎‏ و ‎‎$‎B‎$‎‏ عملگرهای مثبت روی یک فضای هیلبرت ‎‎$‎‎mathcal{H}‎$‎‎‏ باشند و ‎‎$‎0leq AB+BA‎$‎‏. فرض کنید برای عملگر‎</p>
<p dir="rtl" style="margin: 0px;">‏‎‎‎$‎$‎‎E=(A+B)^{-frac{1}{2}}left(A^2+B^2right)(A+B)^‎{‎-frac{1}{2}}‎,‎$$‏</p>
<p dir="rtl" style="margin: 0px;">بازه‎ باز ‎‎$(‎m_E,M_E)‎$‏،‎ که‎ در آن‏، ‎‎$‎m_‎E‎$‎‏ و ‎‎$‎M_E‎$‎‏ کرانهای عملگر ‎‎$‎E‎$‎‏ هستند‏،‏ با طیفهای مربوط به عملگرهای ‎‎$‎A‎$‎‏ و ‎‎$‎B‎$‎‏ اشتراک نداشته باشد.‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎</p>
<p dir="rtl" style="margin: 0px;">‏ در اینصورت‎‎‏‏، برای هر تابع پیوسته ‎‎$‎g:(0,infty)‎rightarrow‎‎mathbb{R}^+‎$‎‎‏ که برای آن‏، تابع ‎‎$‎f(t)=frac{g(t)}{t}‎$‎‏ محدب و نزولی باشد‏، خواهیم داشت</p>
<p style="margin: 0px;">‎‎$‎‎$‎g(A+B)leq c(m,M,f)(g(A)+g(B)),‎$‎‎$‎‎</p>
<p dir="rtl" style="margin: 0px;">‏که در آن‏، ‎‎$‎m‎$‎‏ و ‎‎$‎M‎$‎‏ کرانهای عملگر ‎‎$‎A+B‎$‎‏ هستند و</p>
<p style="margin: 0px;">‎‎$‎‎$‎‎c(m,M,f):=max_{mleq tleq M}left{frac{‎frac{f(M)-f(m)}{M-m}t+‎frac{Mf(m)-mf(M)}{M-m}}{f(t)‎}right}‎.‎$‎‎$‎<a href="./files/site1/files/64/3Anjidani.pdf">./files/site1/files/64/3Anjidani.pdf</a></p>
<p style="margin: 0px;">‎‎‎‎In ‎this ‎paper, ‎we ‎investigate ‎the ‎subadditivity ‎of ‎functions ‎on positive ‎operators ‎without ‎operator ‎monotonicity ‎and ‎operator ‎convexity: Let ‎‎$‎A‎$ ‎and ‎$‎B‎$ ‎be positive operators on a Hilbert space ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎$‎‎mathcal{H}‎$ ‎satisfying‎ ‎‎$‎0leq AB+BA‎$. Suppose that for the operator</p>
<p style="margin: 0px;">‎‎‎‎$$‎E=(A+B)^{-frac{1}{2}}left(A^2+B^2right)(A+B)^‎{‎-frac{1}{2}}‎,$$‎‎</p>
<p style="margin: 0px;">the open interval ‎$‎(m_E,M_E)‎$ where, ‎$‎m‎_E$ ‎and ‎‎$‎M_E‎$ ‎are ‎bounds ‎of ‎operator ‎‎$‎E‎$‎,‎ ‎does ‎not ‎intersect ‎the ‎spectrums ‎of ‎operators ‎‎$‎A‎$ ‎‎and ‎‎$‎B‎$‎.‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎</p>
<p style="margin: 0px;">Then, for every continuous function ‎‎‎‎$‎g:(0,infty)‎rightarrow‎‎mathbb{R}^+‎$ ‎for ‎which ‎the function‎ ‎‎$‎f(t)=frac{g(t)}{t}‎$ is convex and decreasing, we have ‎‎‎</p>
<p style="margin: 0px;">‎‎$‎‎$‎g(A+B)leq c(m,M,f)(g(A)+g(B)),‎$‎‎$‎‎‎</p>
<p style="margin: 0px;">where, ‎$‎m‎$ ‎and ‎‎$‎M‎$ ‎are ‎bounds ‎of ‎operator ‎‎$‎A+B‎$ ‎and‎‎‎‎‎</p>
<p style="margin: 0px;">‎‎$‎‎$‎‎c(m,M,f):=max_{mleq tleq M}left{frac{‎frac{f(M)-f(m)}{M-m}t+‎frac{Mf(m)-mf(M)}{M-m}}{f(t)‎}right}‎.‎$‎‎$‎<a href="./files/site1/files/64/3.pdf">./files/site1/files/64/3.pdf</a></p>
ترتیب ماتریسی, نامساوی عملگری زیرجمعی, تابع یکنوا, تابع محدب, نامساوی عملگری ینسن.
Matrix order, subadditive operator inequality, monotone function, convex function, Jensen’s operator inequality. functions, Linear Algebra Appl. 465 (2015) 401–411.
521
526
http://mmr.khu.ac.ir/browse.php?a_code=A-10-531-2&slc_lang=fa&sid=1
ehsan
anjidani
احسان
انجیدنی
ehsan.mathematics@gmail.com
10031947532846004141
10031947532846004141
Yes
University of Neyshabur
دانشگاه نیشابور، دانشکدۀ علوم پایه، گروه ریاضی